% Aufgaben Lösungen.tex
\documentclass{article}

\usepackage{gastex}
\usepackage[usenames]{color}
\usepackage[T1]{fontenc}

\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}


\begin{document}

\textbf{Aufgabe:}\\
\\
Wir haben im Beispiel 3.1 darauf hingewiesen, dass $\emptyset$ eine der beiden Sprachen ist, deren Hülle endlich ist. Wie lautet die andere Sprache?

\textbf{Lösung:}\\
\\
Man betrachte die in der Aufgabe als genannte Sprache, die von dem regulären Ausdruck beschrieben wird. $\emptyset$:\\
\\
\begin{tabbing}
$\emptyset^{\ast} = L(\emptyset)^{\ast} $\=$= L(\emptyset)^{0} \cup L(\emptyset)^{1} \cup L(\emptyset)^{2} \cup .....$\\
\>$= \{ \varepsilon \} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup ...$\\
\>$= \{ \varepsilon \}$
\end{tabbing}
Betrachtet man die obigen Zeilen müsste schon offensichtlich sein, welches die andere Sprache $S$ ist. Sobald man bei $L(S)^{2}$ ist muss klar sein, dass die Elemente im Alphabet von $S$ neutral bezüglich der Konkatenation sein müssen, denn sonst werden es unendlich lange Zeichenreihen. Und neutral bezüglich der Konkatenation ist nur ein Element, nämlich $\varepsilon$.\\
\begin{tabbing}
$\varepsilon^{\ast} = L(\varepsilon)^{\ast} $\=$= L(\varepsilon)^{0} \cup L(\varepsilon)^{1} \cup L(\varepsilon)^{2} \cup .....$\\
\>$= \{ \varepsilon \} \cup  \{ \varepsilon \} \cup \{ \varepsilon \varepsilon \} \cup ...$\\
\>$= \{ \varepsilon \}$
\end{tabbing}
\end{document}